Bastardos Inglórios e o Teorema de Bayes

Para mim, um dos momentos mais geniais do cinema está em Bastardos Inglórios, de Quentin Tarantino. É a cena da taverna, em que o tenente britânico Archie Hicox (Michael Fassbender), disfarçado de oficial alemão, se entrega ao major Hellstrom (August Diehl) com um simples gesto de mão e compromete a Operação Kino. Depois de ver o filme, fiquei com uma pergunta na cabeça. Como o major podia estar tão certo de que estava diante de um impostor apenas por causa de um gesto?

Recentemente descobri que existe uma forma de expressar em números o que se passava na cabeça do major. Ela vem de um teorema famoso da estatística, o teorema de Bayes.

O que é o teorema de Bayes

Nós, seres humanos, estamos sempre teorizando e tirando conclusões sobre o mundo à nossa volta. Quando nossas teorias encontram novas evidências, a favor ou contra elas, nosso grau de confiança sobe ou desce. Segundo o matemático Jordan Ellenberg, autor de O poder do pensamento matemático, o teorema de Bayes é justamente uma forma de atualizar nossas crenças sobre as coisas do mundo à luz de novas observações, só que por meio de uma expressão matemática.

O teorema leva o nome do reverendo inglês Thomas Bayes, que viveu no século XVIII, e trabalha com dois conceitos centrais. A probabilidade a priori é o grau de crença em algo antes de qualquer evidência. A probabilidade a posteriori é o grau de crença depois de vermos uma evidência relacionada ao problema. O teorema é a ponte entre uma e outra.

Na mesma cena, os personagens jogam um jogo de cartas em que cada um tem um nome colado na testa e precisa adivinhar quem é. Se fosse para escolher o nome na testa do major, eu escolheria Bayes.

A conta do major

Vamos aplicar o teorema à cena. Digamos que, no início da conversa, o major já desconfiasse de Hicox por causa do sotaque, e que sua crença de que o tenente era um impostor estivesse em 70%. Essa é a nossa probabilidade a priori.

Então vem a evidência, o três feito com os dedos errados. Para atualizar a crença, o teorema pergunta duas coisas. Qual a chance de alguém fazer esse gesto se for de fato um impostor britânico? E qual a chance de um alemão de verdade fazer o mesmo gesto? Vamos supor que um britânico sob pressão escorregue nesse detalhe em 45% das vezes, e que um alemão faça o três desse jeito em apenas 5% das vezes. Ou seja, o gesto é nove vezes mais provável vindo de um impostor.

Depois do gesto, a crença do major de que Hicox é um impostor salta para 95,45%. Essa é a nossa probabilidade a posteriori.

Existe um jeito ainda mais intuitivo de chegar ao mesmo número. Antes do gesto, a aposta do major era de 7 contra 3 a favor do impostor. Como o gesto é nove vezes mais provável vindo de um britânico, basta multiplicar o 7 por nove, e a aposta passa a ser de 63 contra 3, ou 21 contra 1. Em 22 casos como esse, o major estaria certo em 21, o que dá os mesmos 95,45%. É isso que o teorema de Bayes faz. Ele transforma em conta a atualização das nossas crenças.

Os números, claro, são ilustrativos. O major não fez conta nenhuma, pelo menos não no papel. Mas o raciocínio dele é exatamente esse. O sotaque criou a suspeita, e o gesto, muito mais comum entre britânicos do que entre alemães, a transformou em quase certeza. Por isso a frieza dele na cena faz tanto sentido.

Nem o reverendo Bayes imaginou que alguém usaria um filme do Tarantino para explicar o seu teorema.

No fim das contas, estamos sempre fazendo inferências sobre o mundo e nem imaginamos que alguém, em algum lugar, montou um teorema para expressar a mudança dos nossos apriorismos. Quando um detalhe pequeno muda muito o que pensamos, é porque ele é bem mais provável em uma explicação do que na outra. Hicox sabia falar alemão e conhecia a cultura do país, mas bastou a mão para o major Hellstrom atualizar suas crenças.